Yunanistan açıklarında fırtınalı bir gün. Tarih M.Ö. 520 civarı. Geminin arka tarafından bir adam açık denize atılıyor ve gemi uzaklaşıyor. Bu adamın adı Hippasus. Suçu mu? Dünyadanın en tehlikeli matematiksel oranını keşfetmesi…
Erken Yunan matematikçileri tam sayıların ve oranlarının önemi konusunda takıntılıydı. Pisagor’un sloganı, okulunun girişinin üzerine oyulmuştu. “All is number. “yani “Her şey sayıdır”.
Sayıların babası” olarak bilinen Pisagor ( M.Ö. 580 – M.Ö. 500) ve ona inananlar evrenin tam sayılardan yapıldığına inanıyordu.
Bildiğimiz gibi 1, 2, 3,… gibi tamsayılara doğal sayılar denir. Bu sayılar matematiğin temel taşları olduğu halde, doğada bulunmazlar. İşte bu doğal sayılar Pisagor öğretisinin temelidir.
Pisagor’a göre, doğal sayıları Tanrı yaratmıştır. Pisagorculara göre, 1 dışında tek sayılar erkek, çift sayılar dişidir. 1, sayıların içinde en kutsal olanıdır, herşey onunla başlar bu açıdan 1 ne dişidir, ne de erkek. Her sayının kendine özgü özellikleri vardır.
Mesela 10, olabilecek tüm geometrik boyutların toplamı olduğundan evrenin sayısıdır.
Daha sonra da, Galile belki de Pisagor’dan esinlenerek “evrenin kitabı rakamlarla yazılmıştır” demiştir.
İşte bu nedenle Pisagor’un korkunç bulmuş olduğu bir sayı vardı ve bu sayı efsaneye göre Hippasus’un hayatını kaybetmesine neden oldu.
Günümüzde Pisagor adını genelde kendi adı ile anılan bir geometri teoremi aracılığıyla biliriz. Bu teorem bizlere iki kenarı verilen bir dik üçgenin üçüncü kenarını nasıl hesaplayacağımızı gösterir. Aslında bu tehlikeli oran işte bu teoriden ortaya çıkar.
Kenarları 1 birim uzunluğunda bir kare çizin ardından karşılıklı iki köşeyi birleştiren köşegeni. Teorem yardımı ile hesaplarsak biliyoruz ki işte bu köşegenin uzunluğu √2 dir, yaklaşık 1.4142.
Bugün için size bu sayı garip gelmeyebilir ancak o dönemde durum farklıydı. Bu sayı iki tam sayının oranı olarak yazılamıyordu. İşte bu nedenle irrasyonel (mantıksız) sayı olarak adlandırıldı bu sayı zira akla, mantığa uygun değildi.
Şimdi gelin √2 sayısının neden mantıksız olduğunu yani neden iki sayının oranı biçiminde gösterilemeyeceğini ispatlayalım.
Önce √2 ‘nin de Pisagorcuların alıştığı akla uygun sayılardan olduğunu yani bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım. O zaman aralarında asal(sadeleşmeyen) öyle iki p ve q tam sayıları vardır ki p/q √2’ye eşit olmalıdır.
Denklemin her iki tarafının karesi alındığında p2/q2=2, yani diğer bir deyişle p2=2q2 olur.
Bu durumda p karesi çift olan bir sayıdır. Bir sayının karesi çiftse kendisi de çifttir, o zaman p kesin çift sayıdır. Demek ki p=2k yazabileceğimiz bir k tam sayısı bulabiliriz. Şimdi bunu denklemde yerine yazalım.
2q2=(2k)2=4k2oldu, sadeleştirme sonucunda q2=2k2 ifadesi bulundu.
Bu durumda q2‘nin, dolayısıyla q’nun da çift olması gerekiyor. Ve işte burada işler karışıyor, sonuçta ikisi de çift sayı ise sadeleşebilmeliler oysa biz başlangıçta bu sayıların aralarında asla olduğunu yani sadeleşmediğini kabul etmiştik.
Dedik ya Pisagor’un müritlerinden Hippasus yanındaki arkadaşlarına “düşünüyorum da, bu soruna çözüm bulamadım” deyince kendisini denizde bulur. Şöyle düşünün dünyadaki her şeyin tamsayılardan ve bunların oranlarından oluştuğuna inanıyorsunuz ve biri çıkıyor size yanıldığınızı söylüyor, tüm paradigma çöktü, ne yapardınız? Efsane ya da değil kesin bilemeyiz ama gerçeklik payı olası gibi geliyor kulağa…
Belki de, bilim adına hayatını kaybeden ilk insan Hippasus olmuştur…
